数学在自然科学中的地位是十分重要的。其所以重要，在于数学具有高度的抽象性和应用的广泛性。然而，也正是数学的抽象性使许多人望而生畏。应怎样学习数学，如何去掌握高度抽象的数学概念呢？我结合自己的学习，谈谈对这个问题的粗浅认识。
什么是抽象？抽象就是人们从客观的具体事物中抽取事物的本质属性。由于人的认识能力是不同的，因此，对抽象概念的理解，不同的人或同一个人在不同的学习阶段也是不同的。就某一个数学概念而言，对一些人来说十分抽象、难以理解，而对另一些人来说，却很容易理解。例如，小学生一定会认为字母运算a+b很抽象，但初中生却以为这是显然的；许多初中生都以为函数的概念不可捉摸，而高中生却不以为然；又如“群”的概念对中学生来说难以想象，但对一个大学数学专业毕业生来说，却是一个很容易想象的概念。所有这些表明，你对一个概念是否感到抽象而难以理解，关键在于你是否通过许多直观现象的实例熟悉它、了解它、掌握它。俗话说:“一回生，两回熟。”初次学习某一概念，你和它只是“一面之交”；学习了一些有关这一概念的实例之后，你就了解了这个概念大致上表示一些什么对象，它有哪些具体的例子，这样，你和它就成了“点头之交”；当你做了一定量的习题，了解了这一概念的一些性质以后，你就会对它有一个本质上的了解，你和它也就成了“莫逆之交”。这时，如果你再回头看那个定义的概念，它已不再是文字的简单组合，而是具有丰富内容和深刻含义，并且包括了一大类实际对象的概念了。
一般说来，抽象的概念与直观的事物之间有着密切的联系，大量抽象概念都是从直觉中提炼出来的。“群”这一概念的产生很能说明这个问题。十九世纪，随着方程论的发展和数系的扩大，解方程的大部分问题已获解决，但一般的代数方程是否可以用根式求解，仍然是一个悬案。最初，拉格朗日在证明“五次方程的预解式为六次方程”时，已经用了“群”的思想。随后，阿贝尔进一步严格地证明了一般五次方程不可能用根式求解，开辟了包括群论在内的近世代数方程论。接着，伽罗华引入置换群的概念，彻底解决了代数方程的根式可解性条件问题。在研究中，伽罗华的根的置换和排列的概念导致了抽象群的萌芽。在这以前，一些物理学家和矿物学家为了确定晶体的可能结构，开始了对运动群的研究，这些研究对置换群以及后来产生的更为一般的群的探索起了很大的启发作用。不久，凯莱认识到置换群可以进一步推广，并在其论文中首次引进了抽象群的概念。从而，“群”终于作为一个数学概念正式被确定了下来，一些平常不为人们所注意的很直观的现象（如结合律等），也就被抽象为群的概念。
从“群”这一概念形成的过程中，如果不考虑其历史发展的顺序，我们可以看到群的概念从直观到抽象转化的过程是：从最直观的晶体结构一→置换群一→运动群一→抽象群。很明显，抽象群的概念产生于直观，产生于应用。
另外，有些抽象概念虽然未必由直观产生，但往往可以找出一个直观的模型来代表，使之直观化。这种例子在数学发展史中也不是少见的。古希腊几何学家不能解释√2这个由勾股定理得出的“奇怪”的数，他们就用单位正方形的对角线来代表它；复数引入之初，有人认为难以想象，于是高斯就引进复平面来表示，使人们确信复数是存在的；此外，把实函数描述成平面曲线，把解析函数理解成复平面之间的共形映照，把n元数组理解成n维向量，这都是把抽象概念直观化的例子。我们在学习这些概念时，就应当充分利用前人已经构造出的直观模型作为思考问题的一种手段，在必要时，自己也可以构造出一些直观模型帮助理解抽象概念。这时，你就会觉得抽象的概念并不那么抽象得不好理解了。
在以上认识的基础上，我在学习中常常自觉地应用“直观化”方法来理解抽象概念，解决疑难问题。
首先，用“直观化”方法可以帮助理解概念。例如，在拓扑学上有一个叫“同伦”的概念，其定义如下：“对连续函数g,h：X→Y如果存在函数族ft，，对任何t∈〔0，1)，函数 ft：X→Y 连续，且函数F(x,t)=ft(x)：Xx[0,1]→Y 为连续，fo.=g，f1=h，则称函数g与h同伦”。乍一看，这一长串定义叫人摸不着头脑，很难理解其实质。如果用一个几何模型来表示的话,“同伦”这个概念就变得十分明白了。事实上，当g, h为实变复值连续函数时，g和h同伦，就是曲线 g,h，能通过连续变形而相互重合。这样，“同伦”这个概念再也不感到抽象了，它只不过是曲线“连续变形”的严格数学表述罢了。
其次，用“直观化”的方法可以帮助记忆。在学习凸函数性质时，有如下定理：……我就用图象来帮助记忆（见图1）。对上凸函数，……这样就把这个条件记住了。对下凸函数可以作同样的处理。
又如，计算重积分时要涉及坐标变换，在球坐标下，……如果一时忘记体积微元的公式，用雅各比行列式重新推导一下是很繁琐的，但用几何方法立即可以得出（见图2）:
……
这样，有了生动的直观形象，就不必再化很大精力去记忆这些公式了。
第三，“直观化”方法还可以启发你获得解决问题的途径。在复变函数论中有这样一道题目：……
一般地，如果遇到一道难以下手的题目，不妨先考虑这道题目的一些特殊情况，通过直观的模型，得出一些特殊的结论。然后由这些结论，推测出可能有的一般结论，再加以严格证明。这往往是解决问题的一种有效途径。
为了更好地运用直观的方法去掌握数学概念，除了经常地、自觉地应用外，学好非本专业的课程，联系这些学科中为数学概念所提供的直观例子，也是十分重要的。要学好场论，你就必须懂得引力场、电磁场；要深刻理解欧拉角的含义，你就要懂得刚体力学。总而言之，应用学科的学习能为你提供“直观化”的模型，并能使你了解你所学习的抽象数学概念的作用及其意义，使之更为生动。
列宁说过:“从生动的直观到抽象的思维并从抽象的思维到实践，这就是认识真理，认识客观实在的辩证途径。”(《哲学笔记》)抽象概念的直观化方法，也是符合辩证唯物主义认识论关于“从感性认识向理性认识飞跃”的认识规律的。我们在学习中应该尽量地寻找抽象概念的直观模型，藉以理解抽象概念本身，以获得更好的学习效果。当然，抽象概念的直观化并不意味着我们可以放弃抽象思维，或者以直观模型来代替抽象概念。应当注意的是，直观化只是手段，而最终目的是为了更深刻地了解和掌握抽象概念，以便找出其内在的本质属性而达到更高度的抽象。这正是当今数学发展的趋势，也是数学这门学科所具有的特点之一。
“用直观化的方法学习数学概念”，《大学生谈学习方法》（上海市高教局研究室编），华东师范大学出版社，1983年，第19至25页；约5千字。